Senter for Marxistiske og Matematiske Studium, Enschede (SMMSE)

I del I såg vi på korleis ein opererer logikkmaskina som William Stanley Jevons bygde i 1869. Maskina finst no ved Museum of the History of Science, University of Oxford. Om du vil sjå bilete av ho kan du gå hit og søkje etter "jevons". For oss er det no på tide å ta ein titt inni maskina.

Som vi såg vil pianoet (som det ofte vert kalla) vise alle dei utsegnslogiske formlane på forma

A ∧ B ∧ C ∧ D

(kor A er anten A eller ¬A, osb., og A, B, C og D er grunnutsegner) som er konsistente med premissane ein skriv inn. Kvar av desse formlane er inni maskina representert av ein stav som kan verte flytta opp og ned. Langsetter stavane er det seksjonar for alle dei åtte literalane A, ¬A, B, ¬B, C, ¬C, D og ¬D, og ein gjevi formel er representert av ein stav med ein pinne i seksjonen for negasjonen av kvar av literalane i formelen. Til dømes er formelen A ∧ ¬B ∧ C ∧ ¬D representert med staven:

A

¬A

B

¬B

C

¬C

D

¬D

•

•

•

•

(Dette er ei lita forenkling; eigentleg er kvar formel representert av to stavar forbundi med ein streng. Men kvar av desse stavane har pinnar i dei same seksjonane, så det er ikkje så viktig for denne presentasjonen). I tillegg har stavane pinnar for kvar av operasjonane OR, Cop. IS, Full Stop og Finis.

Ein stav kan vere i ein av fire posisjonar. Posisjon 1 tydar at formelen representert av staven er konsistent med premissane vi har skrivi inn i pianoet og posisjon 4 tyder at formelen ikkje er konsistent med premissane. Posisjonane 2 og 3 vert nytta til "mellomrekning". På framsida av pianoet er det hòl inn mot stavane og stavane er merka sånn at ein kan sjå formlane gjennom hòla, men berre for dei stavane som er i posisjon 1.

Kvar av tangentane er forbundi med ein hevarm som går på tvers av stavane. Når ein tangent vert pressa ned vil hevarmen lyfte seg. Hevarmen vil då slå borti pinnane og flytte på stavane. På den måten kan posisjonen til ein stav verte endra (du kan sjå Jevons sin illustrasjon av hevarmane her). For at vi skal få ei kjensle av korleis dette verkar, skal vi gå gjennom eit lite eksempel.

Vi vil skrive inn premissen A → B. I del I såg vi at vi då må skrive

A Cop.IS B FullStop

på pianoet. I utgangspunktet er alle stavane i posisjon 1. Når vi pressar tangenten A (på venstresida) vil ein hevarm lyfte seg og slå borti alle stavane som har ein pinne i seksjon A og flytte dei til posisjon 2. Av di pinnane er plassert i seksjonen for negasjonen til literalane vil det seie at alle formlane som inneheld ¬A no vil vere i posisjon 2 medan formlane som inneheld A vil vere igjen i posisjon 1. No pressar vi tangenten Cop.IS, og den bringer alle stavar i posisjon 3 tilbake til posisjon 1. (Men sidan ingen stavar er i posisjon 3 skjer det ingenting; denne tangenten har berre ein funksjon om ein har nytta OR-tangenten. Vi skal ikkje seie noko meir om dette.) Tangenten B (på høgresida) flyttar alle stavar i posisjon 1 med pinne i seksjon B (formlar med ¬B) til posisjon 3, men let stavane i posisjon 2 vere i fred. No har vi altså formlar med A og B i posisjon 1, formlar med ¬A i posisjon 2 og formlar med A og ¬B i posisjon 3. Full Stop bringer stavane i posisjon 2 tilbake til posisjon 1 og stavane i posisjon 3 til posisjon 4. Etter Full Stop har vi med andre ord dei formlane med A og ¬B i posisjon 4 (og der vert dei verande til vi pressar Finis) og det er akkurat dei formalen som ikkje er konsistente med A → B. Resten av formlane er i posisjon 1, og dei er alle konsistente med premissen.

Kva har skjedd? Jo, alle formlar med ¬A er konsistente med A → B. Difor vert dei "gøymt bort" i posisjon 2, sånn at berre formlar med A kan verte flytta til posisjon 3 (og vidare til posisjon 4) når vi pressar på B-tangenten. Formlane i posisjon 4 er ute av spelet, så dei vil ikkje verte flytta på om vi skriv inn fleire premissar. På den måten kan vi fjerne fleire og fleire formlar ved å skrive inn fleire premissar. Om vi pressar Finis vert sjølvsagt alle formlane dytta tilbake i posisjon 1, og vi kan starte på nytt.

Vi avslutta del I av denne teksten med å seie at logikkpianoet til Jevons i seg sjølv ikkje er veldig interessant. Kvifor det? For det fyrste (med berre fire grunnutsegner og med dei restriksjonane pianoet har på forma til formlane) kan ein ikkje nytte det til å løyse oppgåver/problem som ein ikkje raskt kan løyse på baksida av ein konvolutt. Jevons sjølv forsvara seg med å seie at hensikta eigentleg ikkje var å løyse kompliserte problem, men at maskina var nyttig når han underviste i logikk.

Kunne ikkje Jevons ha laga ei større maskin med fleire grunnutsegner? Kanskje, men ikkje veldig mange fleir. Til saman utgjer stavane i maskina ein sanningstabell for utsegna A∧B∧C∧D kor kvar stav representerer ein rad i tabellen. (Prøv å overtyd deg sjølv om at dette stemmer.) Om vi ser på sanningstabellen for utsegna, er han allereie ganske lang

A	B	C	D
S	S	S	S
S	S	S	U
S	S	U	S
S	S	U	U
S	U	S	S
S	U	S	U
S	U	U	S
S	U	U	U
U	S	S	S
U	S	S	U
U	S	U	S
U	S	U	U
U	U	S	S
U	U	S	U
U	U	U	S
U	U	U	U

og for kvar ny grunnutsegn vil lengda verte fordobla. Men andre ord veks lengda av tabellen eksponentielt med talet på grunnutsegner. Sidan maskina er basert på at ho har ein (fysisk) sanningstabell inni seg vil òg storleiken på maskina vekse eksponentielt med talet på grunnutsegner. Det seier då seg sjølv at det er grenser for kor mange grunnutsegner ei sånn maskin kan tillate.

For det andre løyser ikkje maskina det problemet vi eigentleg er interesserte i. Som regel ønskjer ein ikkje å finne, til dømes, alle moglege konklusjon frå ei mengd med premissar. Det vi heller er interesserte i er å finne ut om ei gjevi utsegn er gyldig (ho er gyldig om ho alltid er sann) eller kva for premissar ho forutset om ho ikkje er gyldig. Difor er dei fleste logikkalkylar og logikkprogram basert på at ein startar med ein mogleg konklusjon og arbeider seg bakover til premissane og aksioma, i motsetnad til maskina til Jevons kor ein startar med nokre premissar og ser kva som skjer. (Vi må hugse at dette var tidleg i historia til den moderne logikken, så Jevons viste ikkje alt det vi veit om logikk.)

Det er openbert feil, som nokon vil hevde, at maskina Jevons bygde var ei slags tidleg datamaskin eller noko liknande. Det er ikkje ein gong sikkert at det går ei historisk line frå Jevons til dei datamaskinene vi har i dag. Kvifor hevdar vi då at logikkpianoet har (ein slags) signifikans i historia til den moderne datamaskina?

Det skal vi kome tilbake til i del III av denne teksten.

Kjelder

William Aspray. Logic machines. I, William Asprey (red.), Computing before computers, side 99-121, Iowa State University Press/Ames, 1990.

William Stanley Jevons. On the mechanical performance of logical inference. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 160:497-518, 1870.

Museum of the History of Science, University of Oxford. (13. november 2005)