Senter for Marxistiske og Matematiske Studium, Enschede (SMMSE)

I januar 1870 presenterte William Stanley Jevons, på den tida professor i politisk økonomi, logikk og mental- og moralfilosofi i Manchester, ei "logikkmaskin" for The Royal Socitety of London. Denne maskina har seinare vorti kalla Jevons sitt logikkpiano på grunn av utsjånaden (du kan sjå eit bilete her). I denne teksten vil vi presentere logikkmaskina til Jevons og bruken av ho. I del II vil vi forklare korleis maskina fungerar på innsida, og kvifor vi meiner ho har ein slags signifikans i historia som leidde fram til den moderne datamaskina. Men fyrst litt om utsegnslogikk.

I utsegnslogikk har vi utsegner (vi vil kalle dei A, B, C osb.) som kan ha ein av to sanningsverdiar "sann" eller usann"(S eller U). Vi skal ikkje bry oss om kva utsegnene står for, men merkje oss at dei kan vere grunnutsegner eller samansette utsegner. Ei samansett utsegn er sett saman av grunnutsegner og konnektiva "ikkje" (negasjon), "og" (konjunksjon), "eller" (disjunksjon) og "viss-så" (implikasjon). Vi skal nytte symbola ¬, ∧, ∨ og → sånn at vi skjønar ¬A som "ikkje A", A∧B som "A og B", A∨B som "A eller B" og A→B som "viss A, så B". Det er vanleg å definere konnektiva ved hjelp av sanningstabellar. Sanningstabellen for "ikkje" er

A	¬A
S	U
U	S

og vi les denne sånn at ¬A er usann når A er sann og ¬A er sann når A er usann.

Tilsvarande for "og", "eller" og "viss-så" er

A B A∧B S S S S U U U S U U U U

A B A∨B S S S S U S U S S U U U

A B A→B S S S S U U U S S U U S

Tabellen for "og" skal vere ganske grei. Når det gjeld "eller" er det verdt å merkje seg at dette er såkalla "inklusive eller" (i motsetnad til "eksklusive eller") og skal tolkast som "og/eller" og ikkje som "anten eller". "Viss-så" er det nokre som har problem med. Kvifor er det sånn at "viss A, så B" blir sann når A er usann og B er sann? Den enklaste forklaringa er kanskje at vi vil at utsegna "viss A, så B" skal kunne vere sann sjølv når A er usann og difor bryr vi oss ikkje om sanningsverdien til B i det tilfellet. Ta til dømes utsegna "viss det regnar, så vert det vått på bakken". Då kan vi seie at om det ikkje regnar så bryr vi oss ikkje om resten av utsegna. Eller vi kan tenkje at om vi ser ut av vindauget og oppdagar at det ikkje regnar men likevel er vått på bakken, vert ikkje utsegna mindre sann, det kan jo hende nokon har sett på ein vasspreiar.

Det vi manglar no er omgrepa slutning og konsistens. Ei slutning er ei mengd premissar og ein konklusjon som er sånn at premissane og konklusjonen er utsegner og konklusjonen følgjer logisk frå premissane. "Følgjer logisk" tyder her at kvar gong alle premissane er sanne, må også konklusjonen vere sann. Lat oss ta eit lite eksempel.

A → B A B

Utsegnene over streken er premissane og utsegna under streken er konklusjonen. Om vi vil gjere begge premissane sanne set vi fyrst A = S (dette er jo ein av premissane). For å gjere A → B sann til same tid må vi òg setje B = S (sjå tabellen for "viss-så"). På grunn av dette vert konklusjonen (som berre er B) sann, så dette er ei slutning. (Dei som har teki ex.phil. vil kanskje kjenne ho igjen som modus ponens.)

Konsistens er litt meir komplisert. Lat Γ (den greske bokstaven store gamma) vere ei mengd utsegner. Vi seier at Γ er konsistent om det er mogleg å gjere alle utsegnene i Γ sanne samtidig. Til dømes er menga {A, B, A → B} konsistent medan mengda {A, ¬B, A →B} er inkonsistent. Vidare seier vi at ei utsegn Q er konsistent med ei mengd Γ om det er mogleg å gjere alle utsegnene i Γ og Q sanne på ein gong. Det vil seie at B er konsistent med mengda {A, A → B} medan ¬B ikkje er det. (Merk at både B∧C og B∧¬C er konsistente med {A, A → B}; dette vil få relevans.)

No har vi den bakgrunnen vi treng for å forstå korleis logikkpianoet verkar.

Jevons ønskte å analysere slutningar, men klara ikkje lage ei maskin som kunne slutte ein konklusjonen frå ei mengd premissar. Det logikkpianoet hans gjer i staden er å gje oss alle utsegner på ei bestemt form som er konsistente med ei mengd premissar, kor premissane kan ha inntil fire grunnutsegner.

Til å byrje med viser pianoet oss alle utsegner på forma

A ∧ B ∧ C ∧ D

kor A er anten A eller ¬A (vi kallar dette for literalar), osb.; 16 utsegner i alt. Etter kvart som ein skriv inn premissar, vil dei utsegnene som ikkje er konsistente med det ein skriv inn verte borte. Om ein til dømes skriv inn A→B og A vil ein sitje igjen med

A ∧ B ∧ C ∧ D
A ∧ B ∧ C ∧ ¬D
A ∧ B ∧ ¬C ∧ D
A ∧ B ∧ ¬C ∧ ¬D

av di ingen kombinasjonar som inneheld ¬A eller ¬B kan vere konsistente med premissane.

Premissane må òg skrivast inn på ei bestemt form: Dei må ha nøyaktig ei pil, båe sidene av pila må vere ein disjunksjon med null eller fleire disjunktar, og kvar disjunkt ein konjunksjon av ein eller fleire literalar. Kva tyder så dette? Til dømes kan vi skrive inn

A ∨ (B ∧ ¬C) ∨ D → ¬D

Venstresida er ein disjunksjon med dei tre disjunktane A, B∧¬C og D. A og D er konjunksjonar av berre éin literal, medan B ∧ ¬C er ein konjunksjon av to literalar. Høgresida av pila er ein disjunksjon med éin disjunkt og denne disjunkten er ein konjunksjon av éin literal. Korleis skal ein då skrive inn til dømes berre A som i eksempelet? Ein disjunksjon med null disjunktar er det same som sanningsverdien S. (Prøv å sjølv finne ut kvifor S→A er det same som A og A→S er det same som S.)

Om du no har lyst til å spele på pianoet til Jevons, finn du ein simulator her. Men før du byrjar: denne simulatoren nyttar notasjonen til Jevons, som er annleis enn den vi har nytta i denne teksten. Literalane A, B, C og D er dei same, men Jenovs nyttar dei små bokstavane a, b, c og d i staden for ¬A, ¬B, ¬C og ¬D. I staden for ∨ nyttar han OR, og han har ikkje noko symbol for "og". Det vil seie at i notasjonen til Jevons er AB det same som A∧B. Tangenten i midten, som er merka "Cop. IS", er implikasjonspila.

Vidare er det sånn at tangentane til venstre for Cop. IS er for å skrive inn det før pila og tangentane til høgre for det etter pila. Kvar premiss skal avsluttast med tangenten "Full Stop", og "Finis" bringer deg tilbake til start. Utsegnene vert vist fram ovanfrå og ned, så til å byrje med ser du

A A A A A A A A a a a a a a a a
B B B B b b b b B B B B b b b b
C C c c C C c c C C c c C C c c
D d D d D d D d D d D d D d D d

Til dømes vil då kolonnen lengst til venstre representere

A ∧ B ∧ C ∧ D

og kolonnen lengst til høgre representerer

¬A ∧ ¬B ∧ ¬C ∧ ¬D

Om du vil freiste det fyrste eksempelet skriv du:

A Cop.IS B FullStop
Cop.IS A FullStop

Resultatet vert då

A A A A
B B B B
C C c c
D d D d

I det andre eksempelet skriv du

A OR B c OR D Cop.IS d FullStop

(Prøv no å finne ut kvifor vi får dette litt keisame resultatet.)

I del II av denne teksten skal vi sjå på korleis logikkpianoet fungerar på innsida. Vi skal òg sjå på kvifor logikkpianoet i seg sjølv ikkje er veldig interessant, men likevel kan seiast å ha ein slags signifikans i datamaskina si historie.

Referansar

William Aspray. Logic machines. I, William Asprey (red.), Computing before computers, side 99-121, Iowa State University Press/Ames, 1990.

William Stanley Jevons. On the mechanical performance of logical inference. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 160:497-518, 1870.

Wikipedia. William Stanley Jevons. (13. november 2005)